МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

 

Программа семинаров

 

1. Время и расстояние. Способы их измерения. Системы координат. Скорость, траектория, нормальное и тангенциальное ускорения. Синхронные графики пути, скорости и ускорения. ФЛФ т.1, гл.5; БГС 1.3, 1.4, 1.12, 1.23, 1.24.

2. Радиус и центр кривизны траектории. Угловая скорость и ускорение. Элемент дуги, площади и объема в декартовой, полярной, цилиндрической и сферической системах координат. БГС 1.25,1.26, 1.27, 1.28, 1.30.

3. Векторы. Скалярное и векторное произведения. Угол между векторами. Векторы в декартовой, цилиндрической, сферической системах координат. Кинематика вращения. КНР гл.2; БГС 1.31, 1.33, 1.36, 1.52, 1.55.

4. Инерциальные системы отсчета. Преобразования Галилея. Эффект Доплера для звука. Постоянство скорости света. Несовместимость постоянства скорости света с преобразованиями Галилея. Сверхсветовые скорости. КНР п.10.3;ТУ гл.1; БГС 1.39, 1.40, 1.41, 1.42; 2.3, 2.4, 2.7.

5. Понятие события. Преобразования Лоренца. Замедление хода движущихся часов. БГС 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.15;  БТ 544, 549.

6. Лоренцево сокращение и фотографирование быстродвижущихся объектов. Знак плотности заряда в различных системах отсчета. Стабилизированный электронный пучок. БГС 2.20, 2.23, 2.26, 2.30; ФЛФ т.5, гл.13.

7. Инвариантность интервала. Пространственно и времениподобные интервалы. Причинность. Независимые события. Некоторые «парадоксы».

ЛЛ-Т п.2; М п.15; TУ 25, 26; БГС 2.22, 2.24, 2.28.

8. Сложение скоростей. Аберрация света звезд.  Эффект «фары». БГС 2.31, 2.32, 2.40, 2.46; БТ 572, 573.

9. Понятие 4-вектора. 4-векторы события, скорости и энергии-импульса. Энергия, импульс и масса частицы в релятивистской механике. Эквивалентность энергии и массы. Соотношения между энергией, импульсом и скоростью частицы. ЛЛ-Т п.6,7; ТУ 62, 73; БГС 3.1- 3.4; 3.7.

10. Преобразования энергии-импульса. Скорость центра инерции системы частиц. Эффект Доплера. БГС 3.11, 3.13, 3.18, 3.22; БТ 574.

11. Распады частиц. Распад p® g + g . БГС 4.2, 4.13, 4.23, 4.27.

12. Неупругие столкновения. Инвариантная масса частиц. Пороги рождения частиц. Преимущества ускорителей со встречными пучками.

БГС 4.37, 4.38, 4.41– 4.43; БТ 651, 652, 654.

13. Упругие столкновения. Эффект Комптона. БГС 4.60, 4. 71 – 4.73.

14. Движение в постоянном и однородном магнитном поле. Измерение импульса по кривизне трека частиц. Циклические ускорители частиц. БГС 5.1, 5.5, 5.12, 5.13, 5.15.

15. Движение с ускорением, постоянным в сопутствующей системе отсчета. Движение в постоянном электрическом поле. Релятивистская ракета. БГС 5.21, 5.23, 5.24, 5.26, 5.29, 5.39.

 

29 октября - Курсовая контрольная работа по релятивистской механике.

 

16. Одномерное движение. Потенциальные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии и интегрирование уравнений движения. Определение вида потенциала по известному закону движения. Фазовая  плоскость. БГС 6.1, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8,.

17. Зависимость периода колебаний от энергии частицы. Движение вблизи точки поворота. БГС 6.11, 6.12, 6.14, 6.15.

18. Движение при наличии трения. БГС 6.19, 6.21, 6.23, 6.28, 6.30.

19. Движение тел с переменной массой. БГС 6.31, 6.34, 6.39, 6.42, 6.43.

20. Свободные колебания. БГС 7.1, 7.6, 7.7, 7.14.

21. Колебания с трением. Вынужденные колебания. БГС 7.18, 7.22, 7.26, 7.30, 7.31, 7.34.

22. Резонанс. Понятие о параметрическом резонансе. БГС 7.33, 7.36, 7.38.

23. Понятие об адиабатическом инварианте. БГС 7.39, 7.40, 7.41, 7.43, КС 13.2.

24. Движение в центральном поле. БГС 8.1, 8.2, 8.9, 8.11, 8.16.

25. Момент импульса. Центробежный потенциал. БГС 8.23, 8.24, 8.26, 8.29, 8.39.

26. Траектория и период движения в кулоновском поле. Законы Кеплера. БГС 8.51, 8.52, 8.60, 8.65.

27. Задача двух тел. Приведенная масса. Рассеяние частиц. Формула Резерфорда. БГС 8.72, 8.82, 8.90, 8.99. 8.100.

28. Равновесие тел. Уравнения движения твердого тела. Момент инерции. БГС 9.1, 9.7, 9.9; 9.13, 9.14.

29. Момент импульса и кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Физический маятник. БГС 9.25, 9.26, 9.28, 9.31, 9.33.

30. Вращение с неизменной ориентацией оси. Плоское движение вращающихся тел. Гироскоп. БГС 9.55, 9.56, 9.63, 9.67, 9.82, 9.85.

31. Неинерциальные системы отсчета.  Центробежная сила. Сила Кориолиса. БГС 10.5, 10.6, 10.7, 10.11, 10.16.

 

Оценка на устном экзамене по «Механике и теории относительности» выставляется с учетом трех предварительных отметок:

q       оценки за письменный экзамен;

q       оценки, выставляемой преподавателем за работу в семестре;

q       оценки за курсовую контрольную по релятивистской механике.

 

Задания

При решении задач желательно:

q       выяснить физический смысл задачи,

q       найти простой путь решения; его области применимости, провестиконтроль размерности, проверить предельные и частные случаи;

q       получить точный результат и по необходимости его оценку.

ЗАДАНИЕ №1

(сдать до 25 сентября)

1. Зависимость скоростей двух автомобилей от времени задается следующим выражением:

                 

Найти зависимость ускорения и пройденного пути от времени. Нарисовать синхронные графики ускорения, скорости и пройденного пути.

 

2. Какое расстояние пролетел самолет при полете по маршуту Новосибирск-Рио-де-Жанейро-Нью-Йорк-Новосибирск? Географические координаты городов: Новосибирск (j = 83⁰ восточной долготы, q = 55⁰ северной широты), Рио-де-Жанейро (j = 43⁰ западной долготы, q = 23⁰ южной широты), Нью-Йорк (j = 74⁰ западной долготы, q = 40⁰ северной широты). Найти сумму углов сферического треугольника, образованного участками пути самолета между городами (считая, что самолет летит на одной и той же высоте над землей).

 

3. Футболист находится в 20 м. от прямолинейной траектории мяча. Скорость мяча 10 м/с, скорость футболиста 8 м/с. При каких начальных положениях мяча он может перехватить его? В каких точках траектории  мяча возможен перехват, если в начальный момент мяч был в 25 м. от футболиста?

 

4. Нарисовать синхронные графики зависимости от времени координаты, скорости и ускорения центра тяжести упругого шарика, подпрыгивающего в поле тяжести над упругой плитой без потерь энергии. За какое время шарик остановится, если при каждом ударе будет теряться 1% энергии?

 

5. В каком направлении должна быть сориентирована спутниковая антенна НГУ для приема сигнала с геостационарного спутника связи? Определите максимальный угол наклона этой антенны к горизонту.

 

6. Напряженность однородного электрического поля изменяется по закону E = E₀ cos(t + ). Нарисуйте траекторию движения электрона, если в начальный момент  t = 0 скорость движения электрона V₀ была направлена перпендикулярно полю. Найдите максимальную и среднюю скорость электрона за период поля.

 

7. Нарисовать траекторию Луны в системе координат, неподвижной относительно центра Солнца. Оценить диапазон ускорений центра Луны в этой системе координат.

 

8. Нарисуйте траекторию конца тени от вертикально стоящей палочки в солнечный день 22 июня в Новосибирске. Оцените долготу дня. Проследите эволюцию траектории в течение года. Что будет на других широтах?

ЗАДАНИЕ №2

(сдать до 29 октября )

1. В точках А, В, С, находящихся на расстоянии R от центра О лабораторной системы отсчета одновременно происходят вспышки света. Через какое время (по своим часам) увидит вспышки наблюдатель, двигающийся со скоростью V = 0.8 с вдоль линии АС? В момент вспышек наблюдатель находился в точке О.

2. Сколько ступеней должен иметь релятивитская ракета, чтобы достичь скорости 0.9 c, где c - скорость света, если каждая ступень увеличивает скорость ракеты на 0.1 c относительно предыдущей.

 

3. Две ракеты движутся с одинаковыми скоростями V в перпендикулярных друг другу направлениях. В момент времени, когда они заняли положение, изображенное на рисунке, на ракете 2 включился радиопередатчик, работающий на частоте w. В каких пределах будет изменяться частота сигнала, принимаемого первой ракетой?

 

4. Определите скорости протона и p-мезона (масса 135 МэВ), образующихся при столкновении фотона с первоначально покоившимся протоном . Фотон имел пороговую для этой реакции энергию.

 

5. Kаон распадается на лету по схеме K⁺ ® p⁺ + p⁺ + p^-. На какое максимальное расстояние от линии движения каона успевают удалиться p-ме­зоны за время своей жизни? При какой минимальной энергии каона образующиеся p-мезоны будут лететь в одну сторону? Масса каона  494 МэВ,  p-мезона 140 МэВ, собственное время жизни p⁺-мезона    t=2,5×10^-8 с.

 

6. Какой минимальный радиус должен иметь электрон-позитронный ускоритель со встречными пучками, чтобы на нем можно было наблюдать рождение Z-бозона с массой 90 ГэВ? Магнитное поле на дорожке ускорителя 1 Т. Каким должен быть радиус ускорителя для рождения Z-бозонов при столкновении электронного пучка с мишенью из неподвижных позитронов?

 

7. Мюоны влетают под углом J = 45^o в область однородного поперечного магнитного поля величиной 10^-2 T. Какая часть мюонов выйдет из области поля не распавшись? Масса мюона 105 МэВ, собственное время жизни t =2×10^-6 сек.

 

8. Поток мюонов влетает по нормали в область тормозящего электрического поля напряженностью  = 10⁶ В/м. При какой энергии мюонов из области поля после «отражения» выйдет более 50% частиц?

ЗАДАНИЕ №3

(сдать до 18 декабря)

 

1. Однородная веревка длиной 2L со­ска­ль­зывает под действием силы тяжести через направляющую трубку со стола высотой L (см. рисунок). Найти максимальную скорость вере­вки, если в начальный момент она поко­илась, а длина свисающей части была равна L.

 

2. Найти отношение периодов движения частицы в левой и правой по­тенциальных ямах (см. рисунок) с потенциалом

при энергии частицы .

 

3. Бусинка надета на невесомую гладкую нить длиной L, концы которой закреплены на одинаковой высоте на расстоянии d друг от друга (см. рисунок). Найти частоту малых колебаний бусинки вдоль нити.

 

4. Шар радиуса R массой М с начальной скоростью V₀ движется через встречный однородный поток круглых пылинок массой m << M. За какое время шар остановится? Плотность пылевого потока r, скорость U. Удары пылинок упругие.

 

5. Два спутника движутся друг за другом на расстоянии 45 км по общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы состыковаться, спутники должны сблизиться и двигаться по общей орбите. Сколько раз нужно включить двигатель отстающего спутника, чтобы осуществить этот маневр наиболее экономично? Как зависит время сближения спутников от величины добавки к скорости? Двигатель сообщает спутнику импульс, перпендикулярный радиусу орбиты, а его каждое включение изменяет скорость спутника не более, чем на 8 км/ч.

6. Две звезды массами M₁ и M₂ движутся по окружностям вокруг общего центра масс. У звезды массой M₁ в результате сферически-сим­мет­ричного взрыва сбрасывается внешняя оболочка массы qM₁, которая, расширяясь, быстро уходит за пределы двойной системы. При каком значении q двойная система перестанет быть связанной гравитационными силами?

 

7. Найти сечение рассеяния на угол, больший 45 градусов, при упругом столкновении протона с энергией Е = 10 эВ с летящим навстречу протоном такой же энергии. Каким будет это сечение при столкновении протона с энергией Е = 40 эВ с первоначально неподвижным протоном?

 

8. Пучок -частиц с энергией 10 МэВ проходит через золотую фольгу толщиной 10 микрон. За час происходит в среднем одно рассеяние на угол, больший 90⁰. Найти интенсивность пучка -частиц.

 

9. Однородный стержень длиной L может скользить своими концами без трения по параболе y = αx² (см. рисунок). Найти частоту малых колебаний стержня при различных значениях L и α.

10.  Внутри гладкой тонкостенной сферы радиуса R и массы М находится точечный шарик массы m. Шарику придается начальная касательная скорость V и он начинает скользить по сфере. Описать движение системы в отсутствии сил трения и тяготения.

 

11. Найти период малых колебаний полушара радиуса R на гладкой горизонтальной плоскости в поле тяжести.

 

12. Найти отклонение отвеса от линии к центру Земли на широте . Землю считать эллипсоидом вращения, гравитационный потенциал на поверхности которого зависит от широты q и расстояния до центра r как , где М- масса Земли, R- ее экваториальный радиус. Численный коэффициент .

Принятые сокращения

 

[ФЛФ] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс И. Фейнмановские лекции по физике. Т.1-2. М.: Мир, 1976.

[КНР] Киттель Ч., Найт У. И Рудерман М. Механика М.: Наука, 1971.

[ЛЛ-Т] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.  Теория поля. М.: Наука, 1973.

[М] Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976.

[ТУ] Тейлор Э.Ф., Уилер Дж.А. Физика пространства-времени. М.: Мир, 1971.

[БТ] Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970.

[КС] Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. М:, Просвещение, 1977.

[БГС] Бельченко Ю.И., Гилев Е.А., Силагадзе З.К., Соколов В.Г. Сборник задач по механике частиц и тел. Новосибирск: НГУ, 2000.

 

Скачать в формате .DOC (210944 Б)